丁小平：新微积分原理的思考

摘要：本文修正了实数和点的规定性，从而形成了作为数学前提的新的量—形模型；构造了以“变化”（Werden）为核心的微积分体系，并在此基础上重新定义了微分、导数、原函数和积分等概念，重新构造了微积分原理。

关键词：微分；导数；积分；量—形模型

1、引言

1665-1667年间，牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在家乡躲避瘟疫时建立了流数术和反流数术，即微积分。几乎同时，莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）通过对帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）四分之一圆周的研究建立了同样的一套方法^[1]。如果把1667年作为微积分诞生的年份的话，那么微积分理论建立到现在已经344年。

牛顿和莱布尼兹给我们提供的微积分方法，其应用的广泛性和有效性几乎是无与伦比的。然而，作为理论，牛顿和莱布尼兹的工作是不能自圆其说的^[1]。为此，达朗贝尔（D'Alembert，Jean Le Rond，1717-1783）发展并引进了极限论，拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）、柯西（Augustin Louis Cauchy，1789-1857）、黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）和魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）等数学家也做了大量弥补性工作^[2,3]，就这样，一座辉煌的微积分大厦终于建立起来了。后来，以达布（Darboux，Jean-Gaston，1842-1917）和勒贝格（Henri Leon Lebesgue，1875-1941）为代表的数学家又对大厦进行了最后的修饰，这部分工作被称为实变函数。这就是今天矗立在世人面前的微积分大厦。

本文在总结微积分原理已有的研究成果基础上，修正了实数和点的规定性，提出了新的量—形模型，构造了以“变化”（Werden）为基础的微分，并在此基础上重新定义了微分、导数、原函数和积分等概念，建立了一套新的微积分原理体系。

2、新的“量—形”模型简介

首先对现行实数理论和点的规定性做如下修正：两个相同的实数化为两个不同的实数要经过异—同过渡过程；同理，两个不同的实数化为两个相同的实数要经过同—异过渡过程；两个点自重合态进入分离态要经过分—合过渡态，同理，两个点自分离态进入重合态要经过合—分过渡过程。还规定：任何一个实数的有性扩张为\( 0 \)，而准有性扩张不为\( 0 \)；点的有性度量为\( 0 \)，而准有性度量不为\( 0 \)。我们把修正后的实数理论和点的规定性作为新的量—形模型。

新的量—形模型与传统量—形模型的根本区别在于，新的量—形模型之下有数的异—同（同—异）过渡态和点的分—合（合—分）过渡态。正是因为有这样的过渡态，才产生真正意义的连续概念。可以定义，依前后秩序两两处于异—同（同—异）过渡态的数（或数组）构成的集合称作连续变量，如果连续变量通过对应映射所构成的集合仍满足两两处于异—同（同—异）过渡态，则称这样的映射关系为连续函数。

一个量，不管是自变量还是因变量，自\( x_{0} \)变化到\( x \)形成增量\( \Delta x=x-x_{0} \)，其变化状况无外乎如下三种情况：1）每次增加\( \Delta x_{i} \)，\( \Delta x_{i} \)为有限量，增加\( n \)次完成，于是，\( \displaystyle \sum_{i=1}^n \Delta x_{i}=\Delta x \)；2）每次增加\( \delta x_{i} \)，\( \delta x_{i} \)为无穷小，增加\( \infty \)次完成，于是，\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \delta x_{i}=\Delta x \)；3）每次增加的“量”比\( \delta x_{i} \)还小，其“量”为两个数（点）间处于异—同（分—合）过渡态的“差值”，这样一来，其增加的次数就比泛泛的\( \infty \)还大，我们称之为超级巨大，用“\( \backsim \)”表示。如果用\( \mathrm{d} x_{i} \)表示任意一次增加的“量”，则\( x_{i}-x_{i-1}=\mathrm{d} x_{i} \)，于是\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\backsim}\mathrm{d} x= \Delta x \)。这三种情况分别等价于将\( \Delta x \)分成\( n \)份，\( \infty \)份和\( \backsim \)份，随着份数的增大，每份的度量也从可计量的有限量，减小为无法计量的无穷小，最后减小到极端状况，以至于从\( \Delta x \)的有性上看，其量已化为\( 0 \)，因为此时两个值（点）处于同—异（合—分）过渡态。这种状态就是\( \delta x_{i} \)小到进入无—有过渡态，这时的\( \mathrm{d} x_{i} \)是无与有相互转化的“度”，也叫“中介”，是无与有的对立统一，这种中介在Hegel的《逻辑学》中被称作“Werden”，作为Werden的\( \mathrm{d} x_{i} \)既是无又是有，是有中的无和无中的有。一句话，是“准有”，只有准有才满足Werden的条件。准有，从有性上度量，其量为\( 0 \)，从无性上度量，其量为有。正是数或点的准有性，使得数或点的过渡态得以维系。对于传统量—形模型而言，由于不存在准有，因此，作为数，没有异—同（同—异）过渡态；作为点，要么两点重合，要么两点分开，没有分—合（合—分)过渡态。

图2-1 几何示意图

Werden可译作“生成”或“消失”，我们可将二者统一为一个词——“变化”，这里的变化二字取自《黄帝内经》的“物之生谓之化，物之极谓之变”。“变化”（Werden）是无与有相互转化的中介，这种中介在数学上昭示出特有的微观解析几何关系。如图2-1，随着\( \Delta x \)趋向并等于\( \mathrm{d} x_{i} \)，弧AB、割线AB和切线AC变化成“变化”（Werden）态——A、B两点进入合—分过渡态。即弧AB与割线AB以保留相对准有级还原因子\( o \)的形式与切线AC合一，也就是说各量（图形）自“度量尺寸的几何状态”进入“不度量尺寸的几何状态”——拓扑态，这也是“切代弧”和“切代割”是精确演绎而非近似演绎的依据之所在。此时的微观关系如示意图2-2所示，A、B两点进入合—分过渡态，C点与B点重合，有：

\[ \begin{align}\mathrm{d} y &\overline{\equiv} F(x+\mathrm{d} x)-F(x) \overline{\equiv} \{tg[\theta(x)]+\alpha(\mathrm{d} x)\} \mathrm{d} x \\&\overline{\equiv}[f (x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x \overline{\equiv} f(x) \mathrm{d} x+o (\mathrm{d} x)=f(x) \mathrm{d} x\end{align} \]

式中的“\( \overline{\equiv} \)”与“\( ＝ \)”不同，是辩证等号，表示一个以上的有性量的相互转化和相等关系；\( tg[\theta(x)] \)表示\( F(x) \)在\( x_{i-1} \)点的斜率函数，\( \alpha(\mathrm{d} x) \)是\( tg[\theta(x)] \)的相对准有级复原函数；\( o(\mathrm{d} x)=\alpha(\mathrm{d} x) \mathrm{d} x \)称作\( F(x) \)在\( x_{i-1} \)点处的相对准有级复原函子，它比\( f(x) \mathrm{d} x \)低一个表达界。

图2-2 微观关系示意图

事实上，只要\( \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \)在\( U(x, \eta) \)连续，就存在定理关系\( \Delta y=f(x) \Delta x+o ( \Delta x) \)。当\( \Delta x \)趋于并等于\( \mathrm{d} x \)时，有\( \mathrm{d} y \overline{\equiv} f(x) \mathrm{d} x+o(\mathrm{d} x)=f(x) \mathrm{d} x \)。

3、新微积分原理中微分、导数、原函数及积分

下面，介绍一下新微积分原理中的微分、导数、原函数及积分等相关概念的定义及计算。

3.1、微分与导数的表达

对\( y=F(x) \)（对多元函数\( F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \)同样采用此方法处理），如果在\( U(x, \eta) \)内\( \mathrm{d} y\overline{\equiv}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x\overline{\equiv}f(x)\mathrm{d} x+o(\mathrm{d} x)=f(x)\mathrm{d} x \)成立，那么，定义\( \mathrm{d} y\overline{\equiv}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x\overline{\equiv}f(x)\mathrm{d} x+o(\mathrm{d} x) \)为\( F(x) \)的动微分函数，简称动微分；称\( \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x \)为\( F(x) \)的静微分函数，简称静微分。同时，定义\( \displaystyle F^{\circ}(x)\overline{\equiv}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\overline{\equiv}f(x)+\alpha(\mathrm{d} x) \)为\( F(x) \)的动导函数，简称动导数；称\( \displaystyle F'(x)= \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=f(x) \)为静导函数，简称静导数。

针对一个具体的函数进行运算，给出实例。

例1 求\( y=x^{3} \)的动、静微分和动、静导函数。

解：动微分：\( \mathrm{d} y\overline{\equiv}(x+\mathrm{d} x)^3-x^3\overline{\equiv}3x^2\mathrm{d} x+3x(\mathrm{d} x)^2+(\mathrm{d} x)^3\overline{\equiv}\left[3x^2+3x\mathrm{d} x+(\mathrm{d} x)^2\right]\mathrm{d} x \)

静微分：\( \mathrm{d} y=3 x^{2} \mathrm{d} x \)

动导函数：\( \displaystyle F^{\circ}(x)\overline{\equiv}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\overline{\equiv}3x^2+3x\mathrm{d} x+(\mathrm{d} x)^2 \)

静导函数：\( \displaystyle F'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=3 x^{2} \)

通过例题可以清楚地看到动微分\( \mathrm{d} y\overline{\equiv}f(x)\mathrm{d} x+o(\mathrm{d} x) \)和\( F^{\circ}(x)\overline{\equiv}f(x)+\alpha(\mathrm{d} x) \)动导数的结构，并且，\( o(\mathrm{d} x)\overline{\equiv}3x(\mathrm{d} x)^2+(\mathrm{d} x)^3 \)，\( \alpha(\mathrm{d} x) \equiv 3 x \mathrm{d} x+(\mathrm{d} x)^{2} \)。

3.2、原函数的表达

如果\( F^{\circ}(x)\overline{\equiv}f(x)+\alpha(\mathrm{d} x) \)或\( F'(x)=f(x) \)，那么\( F(x)=r_{x} f(x)+ C \)叫做\( f(x) \)的原函数族，简称原函数。其中\( r_{x} f(x) \)称为原函数基。\( r \)称为逆演绎符号，是“restore”的字头，\( x \)称为逆演绎变量。\( r_{x} f(x) \)是对传统不定积分的纠正，考虑到历史习惯，我们把\( \displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x \)看做\( f_{x} f(x) \)的习惯形式。

例2 求\( y=\sin ^{2} x \)的原函数。

解：

\[ \begin{align}\displaystyle &r_{x} \sin ^{2} x=r_{x} \frac{1-\cos 2 x}{2}=r_{x} \frac{1}{2}-r_{x} \frac{1}{2} \cos 2 x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} r_{2 x} \cos 2 x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x \\ &\therefore F(x) \frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C\end{align} \]

3.3、积分的表达

微分就是“变化”（Werden），\( \Delta x \)的发生过程就是\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\backsim} \mathrm{d} x_i= \Delta x \)，但如果把\( \Delta x \)作为起始状态，把\( \displaystyle \mathrm{d} x_i= { \sum_{i=1}^{\backsim} } \Delta x \)看为微分\( \mathrm{d} x_{i} \)的发生，那么\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\backsim} \mathrm{d} x_i \)，就是微分的反过程，定义这个反演绎过程为积分。

对\( y=F(x) \)，

\[ \begin{align}\displaystyle F(x)-F\left(x_0\right)&\overline{\equiv}\Delta y\overline{\equiv}\sum_{i=1}^{\backsim}\mathrm{d} y_{i}\overline{\equiv}\sum_{i=1}^{\backsim}\left[f\left(x_{i-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{i}\right)\right]\mathrm{d} x_{i} \\ &\overline{\equiv}\sum_{i=1}^{\backsim}\left[f\left(x_{i-1}\right)\mathrm{d} x_{i}+o\left(\mathrm{d} y_{i}\right)\right]=\sum_{i=1}^{\backsim}f\left(x_{i-1}\right)\mathrm{d} x_{i}\end{align} \]

引进\( \displaystyle \sum_{\mathrm{i}=1}^{\backsim} \)的等价符号\( \displaystyle \int_{x_{0}}^{x} \)，称\( \displaystyle \sum_{\mathrm{i}=1}^{\backsim} \)为伪离散累加符号。称\( \displaystyle \int_{x_{0}}^{x} \)为连续累加符号，则上式化为：\( \displaystyle F(x)-F\left(x_0\right)\overline{\equiv}\int_{x_0}^{x}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x=\int_{x_0}^{x}f(x)\mathrm{d} x \)，这就是Newton-Leibniz公式。式中\( \displaystyle \int_{x_{0}}^{x} \)表示以\( \mathrm{d} x \)为份额，将\( [f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x \)或\( f(x) \mathrm{d} x \)自\( x_{0} \)累加到\( x \)，其中\( f (x) \)和\( \alpha(\mathrm{d} x) \)始终与自\( x_{0} \)起动的\( x \)同步。

对Newton-Leibniz公式两端求动、静微分：

\[ \begin{align}\displaystyle &D\left\{\int_{x_0}^{x}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x\right\}\overline{\equiv}D\left[F(x)-F\left(x_0\right)\right]\overline{\equiv}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x \\&d\left\{\int_{x_{0}}^{x}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x\right\}=d\left[F(x)-F\left(x_{0}\right)\right]=f(x) \mathrm{d} x\end{align} \]

可见积分是动、静微分的逆演绎。

设\( x_{0}, x \in[a, b] \)，\( F(x) \)和\( F(x) \)的静导数\( F(x) \)在\( \left[x_{0}, x\right] \)上连续，在\( \left(x_{0}, x\right) \)上任选\( \ell \)个点，\( \ell \)为有限量，并令\( \backsim'=\backsim-\ell \)，于是：

\[ \begin{align}\displaystyle \int_{x_0}^{x}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x&\overline{\equiv}\sum_{j=1}^{\infty}\left[f\left(x_{i-1}\right)\right]+\alpha\left(\mathrm{d} x_{i}\right)\mathrm{d} x_{i}\\ &\overline{\equiv}\sum_{j=1}^{\infty}\left[f\left(x_{j-1}\right)\alpha\left(\mathrm{d} x_{j}\right)\right]\mathrm{d} x_{j}\sum_{j=1}^{\ell}\left[f\left(x_{k-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{k}\right)\right]\mathrm{d} x_{k}\\&\overline{\equiv}\int_{x_0}^{x}l[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x\overline{\equiv}\int_{x_0}^{x}lf(x)\mathrm{d} x\end{align} \]

式中\( \displaystyle \sum_{j=1}^{\backsim}\left[f\left(x_{j-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{j}\right)\right]\mathrm{d} x_{j}\overline{\equiv}\int_{x_0}^{x}l[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)]\mathrm{d} x \)与\( \displaystyle \sum_{j=1}^\backsim\left[f\left(x_{i-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{i}\right)\right] \mathrm{d} x_{i} \equiv \int_{x_{0}}^{x} l[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x \)在数量上相等，但前者较后者缺少两个微观级变化趋势\( \displaystyle \sum_{\mathrm{k}=1}^{\ell}\left[f\left(x_{k-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{k}\right)\right] \mathrm{d} x_{k} \)。\( \displaystyle \sum_{\mathrm{k}=1}^{\ell}\left[f\left(x_{k-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{k}\right)\right] \mathrm{d} x_{k} \)在\( f(x) \)的有性上衡量其量为\( 0 \)，因为\( \displaystyle \sum_{\mathrm{k}=1}^{\ell} \)是有限生长。它的几何意义是\( \ell \)个线流形和\( \ell \)个面流形的发生趋势。我们称缺少\( \displaystyle \sum_{\mathrm{k}=1}^{\ell}\left[f\left(x_{k-1}\right)+\alpha\left(\mathrm{d} x_{k}\right)\right] \mathrm{d} x_{k} \)的\( \displaystyle \int_{x_{\mathrm{o}}}^{x} \ell[f(x)+\alpha (\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x \)为次发生积分。

如果\( {f}(x) \)在\( \left(x_{0}, x\right) \)内有\( \ell \)个第一类间断点，但\( F(x) \)在\( \left[x_{0}, x\right] \)内连续或有可去间断点，那么，\( \displaystyle \int_{x_{0}}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{x_{0}}^{x}[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x=\int_{x_{0}}^{x} \ell[f(x)+\alpha(\mathrm{d} x)] \mathrm{d} x=\int_{x_{0}}^{x} \ell f(x) \mathrm{d} x=F(x)-F\left(x_{0}\right) \)。

4、结论

综上所述，本文结论如下：

（1）修正了实数和点的规定性，从而形成了作为数学前提的新“量—形”模型；

（2）构造以“变化”（Werden）为核心的微积分体系，在此基础上重新构造了微积分原理。

参考文献

[1] 李文林. 数学史概论（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[2] 龚升, 林立军. 简明微积分发展史[M]. 长沙：湖南教育出版社，2005.

[3] 卡尔·波耶. 微积分概念发展史[M]. 上海：复旦大学出版社，2011.