丁小平的学术思想及其启示（续）：数学

通过深入的研究，丁小平得出结论：之所以自1665年至今人类建立不起来科学的微积分原理，是因为人类还不懂得自为地建立整个数学所必需的数—形模型。现行数—形模型不仅残缺，而且存在严重缺陷。第一，由于无限分割思想作祟，现行数—形模型把实数变成了处于无限增长的动态体系；第二，数与形的关系不合理。极限论前提的不清晰、康托定理证明的错误、测度论的荒唐等等，无不源于此。以测度论为例，Borel和Lebesgue由于不懂得数隙和点隙的存在，错误地把超越数当作测度的数学承担者。

丁小平还指出，数学工作者轻视哲学是导致整个数学误入歧途的根本原因。以微积分原理为例，他说：“我们的数学工作者连什么是原理都搞不清楚，他们竟然用他们的‘微积分原理’证明微积分方法行之有效。微积分方法的行之有效早已被实践所证明，不需要理论再予以证明。人类之所以要建立微积分原理，是因为人类要破解微积分方法为什么行之有效。人类建立微积分原理的实践意义在于优化已有微积分方法和揭示更多新微积分方法。”

丁小平重新建立了数—形模型。在新数—形模型基础上，他建立了新的测度论和全新的微积分原理。就像药理学要进入分子水平一样，丁小平的微积分原理是数—点级水平的。数—点级水平微积分原理的建立，其最直接受益者是微分方程和微分几何两个学科。而微分几何新思想，又解决了虚位移原理长期以来不能自圆其说的问题，从而使以虚位移原理和达朗伯原理为支撑的现代力学从根本上实现了科学化。反过来说，走向科学化的现代力学又作为实践证实了新微积分原理的科学性和行之有效性。

总之，在微积分原理问题上，丁小平不仅系统而严密地指出现行微积分原理的错误和结构扭曲问题，而且还从数学史角度论证了前人为什么会犯这些错误，同时又给出了新建的微积分原理，继而还把作为现行微积分原理更深刻理论基础的实变函数理论中的错误加以阐明，最后再以解决长期悬而未解的虚位移原理作为应用例证。至此，应该说丁小平的微积分研究把该做的事都做了。另一方面，新数—形模型的建立不仅解决了微积分原理的建立问题，还必将导致数学领域发生一场革命，数学的革命又必将导致整个科学的革命。

前文中阐述了丁小平先生对现行微积分原理错误的论述及其重建微积分原理的指导思想，其实，丁小平先生对整个现代数学都做了系统梳理和重建建议。丁小平先生指出，别的不说，只就现行实变函数理论而言，它就是一个无法逻辑自洽的体系，究其根本问题出在现行数学的数—形模型上，因此，只有建立新的数—形模型，实变函数理论才可能走向科学化。

丁小平先生指出，现行实变函数理论体系中有众多错误，现在只谈最根本性的错误：

1、总体与其局部可以一一对应纯系呓语。

设A、B、C、D、E为无限集合，A=B+C+D，再设C=E，则E为A的真子集。A中的真子集C足以与E一对一对应（有公理保证），故而，E中再无元素可与B和D对应。这个简单的证明对无限集合和有限集合都适用。光看到A与E中的元素是无限的，在列举法中就忽视A与E的增长速度的做法很不妥当。这种做法的幼稚在于，以为既然E是无限集合，所以，E就可以与另一无限集合（B+C+D）中的元素一一对应下去。可是，他们忘记了C与E是同步的无穷多，从而，B和D在E中再也找不到对应项。相反，谁举出某一个对应方式，谁就得给出可以这样列举的证明。有人说：“通过具体列举就可以证明一一对应。”我们说，这是无限集合，谁列举得完？他们还可以说：“给出列举方式就可以了。”我们说，忽视两个集合的增长速度（即关联关系）的列举方式是不可行的。当说E是A的真子集时，这就已经是关联关系了。

2、测度理论的错误。

丁小平先生指出，现行实变函数理论在寻找测度的数学承担者时使用的是排除法，而在具体过程中犯了丢项的错误，因此这样的测度理论是没有科学性的。为了兼顾代数与几何，我们就从解析几何角度谈起。在坐标系中，数轴上的任意区间由代数数（点）与超越数（点）与数隙（两点间距）共同构成，也就是说数与点是一对一对应的，两点之间有空隙，两数之间也如此。而Lebesgue忽视了数隙（两点之间的间隙）的存在，因此得出区间的测度由超越数承担的错误。按传统数—形模型的逻辑，测度应该由数隙（点隙）承担。在解析几何意义上说，超越数及其对应的点与代数数及其对应的点没有任何本质上的差别，因此代数数及其对应点的测度为0，超越数及其对应点的测度也同样为0。

3、新的数—形模型基础上重建实变函数。

丁小平先生指出，只要纠正前述错误，在新的数—形模型基础上重建实变函数，问题就能得到解决。在数学的新数—形模型问题上，当今世界上一切微积分教材在微分的定义上都是错误的，实变函数理论的错误也一样，都源自现行数学的数—形模型。而难以发现现行数—形模型的错误与难以构想新的数—形模型的原因又都在于囿于无穷分割思想的限制。实数本是静态数系，也就是说不管实数有多么多，它的总数都是确定的，可是，无穷分割思想所衍生的任意两个数（点）之间都可以插入第三个数（点）的思想，把实数变成了处于无限增多的动态数系，数轴上任意区间中的点也处于无限增多之中，这显然是荒谬的。

要想实现代数与几何的统一，就得把数与点对应起来，同还能构成数轴。构造方式是：既然任意区间中的实数总量是确定的（注意，这是对无限分割思想的矫正），那么一个数（点）向相邻的另一个数（点）增长就定义作Werden。从实数上说，Werden是相邻两个数的动态过渡；从几何上说巨多个Werden能长出线段。Werden就是测度的数学承担者，微分就是α·Werden，α是任意实数。Werden是动态的，代数学也要给出动态量与静态数的运算规则，即相应的代数结构。